Cuando las palabras sobran y no alcanzan: “Grisha” Perelman y la Matemática

Desde Poincaré hasta Perelman transcurrieron años y caudales de matemática.

Aquí, algunas respuestas para las numerosas preguntas que intentan desentrañar distintos aspectos de esta historia y la conjetura de Poincaré explicada para “no expertos” por el Dr. Pablo Amster.

“Todo el mundo entiende que si la prueba es correcta entonces no se necesita otro reconocimiento”. Las breves palabras emitidas por Grigori Perelman ante el enigma que se suscitó en torno a su rechazo a la medalla Fields, parecen remitir en su sencillez a aquellas que alguna vez pronunciara Henri Poincaré: “Una palabra bien elegida puede economizar no sólo cien palabras, sino cien pensamientos”.

Pero a pesar de lo “económico” de las declaraciones de Perelman, la explosión mediática generada no ahorró en pensamientos, ni mucho menos en palabras. La vivisección hecha al matemático ruso por la no aceptación del premio, dejó planteado una suerte de misterio alejado del verdadero enigma matemático.

Aquel verdadero enigma es el que surgió hace más de 100 años, cuando el matemático y filósofo francés Henri Poincaré planteó una hipótesis que corresponde a un área de la matemática conocida como “Topología”. Poincaré, también conocido por haber participado de la elaboración de la Teoría de la Relatividad Especial junto a Einstein y Lorentz, logró formular algunas demostraciones respecto de su hipótesis, pero ciertos puntos quedaron irresueltos. Así, “la conjetura de Poincaré” quedó incompleta en su demostración y fue legada a las posteriores generaciones de matemáticos que retomaron el problema. Así fue como en el camino que condujo a Perelman se recibieron aportes notables como los de los matemáticos William Thurston y Richard Hamilton. Sin embargo la conjetura aún necesitaba una demostración global.

 “Es difícil contarlo en palabras sencillas pero intuitivamente lo que dice la conjetura es que toda superficie de dimensión 3 que no tiene agujeros, es equivalente topológicamente a una esfera (de dimensión 3)”, explica el doctor Pablo Amster, matemático de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires, Argentina.

Desde el punto de vista topológico, una pelota, por ejemplo, es una esfera de dimensión 2, ya que debe quedar claro que lo que se toma en cuenta de la esfera es únicamente la “cáscara”. Por eso tiene dimensión 2, por más que esté sumergida en un espacio tridimensional. Así una esfera de dimensión 3 resulta difícil de imaginar –aclara Amster- pero se la puede definir geométricamente como el conjunto de puntos del espacio de dimensión 4 que están a cierta distancia fija de un centro (en forma análoga a la esfera de dimensión 2).

“En topología, decir que una superficie cerrada no posee agujeros es equivalente a decir que si uno la corta a lo largo de una curva cerrada simple (es decir, sin autointersecciones), entonces forzosamente se obtienen dos partes separadas. En un toro, que es como una esfera con un agujero (tal como una rosquilla), si uno hace el mismo procedimiento de cortar a lo largo de una curva cerrada los fragmentos no se separan necesariamente”, prosigue Amster.                           

Un razonamiento equivalente consiste en pensar si cualquier curva trazada sobre la superficie puede reducirse a un punto. Si se toma una esfera y con una cuerda se rodea su circunferencia, el lazo puede "deslizarse" hasta reducirse a un punto. En cambio, si se realiza el mismo procedimiento sobre un toro, el lazo no se reduce a un punto, ya que el agujero lo impide. Por lo tanto un toro y una esfera no poseen desde el punto de vista topológico las mismas propiedades; es decir, no son topológicamente equivalentes. “En estos ejemplos hablamos de superficies bidimensionales, pero lo mismo se puede pensar para dimensiones distintas de 2”, explica Amster. “Lo que Perelman hizo fue resolver el problema en 3 dimensiones, cosa que Poincaré no había logrado”.

El Dr. Amster quien estuvo en el Congreso Internacional de Matemática (ICM 2006) realizado en Madrid el pasado mes de agosto, y donde sería entregada la Medalla Fields a Perelman, atestigua los hechos difundidos por los medios: “Yo estuve en el congreso, y ya se rumoreaba que no iba a aparecer, y sí, efectivamente anunciaron el premio y no apareció”.

Pero en el ambiente matemático la ausencia de Grigori Perelman tal vez no tuvo la misma repercusión que en los medios. “Todo eso fue una cosa muy mediática –comenta Amster–; los medios se ocuparon de hablar del tema, apareció Perelman en los diarios y salió esta historia. Esto no fue tan bueno para los pobres otros tres que ganaron la Medalla Fields: nadie habló de ellos, todo el mundo habló sobre Perelman... pero en realidad todo giró en torno a la cuestión de por qué Perelman estaba tan enojado con la comunidad matemática, que es lo que pasó…bueno, un poco de habladurías, digamos...

Tal vez la opinión de Pablo Amster respecto al tema refleja la de muchos matemáticos “En realidad no pienso nada en particular en relación a la actitud de Perelman. La Medalla Fields es como el premio Nobel que los matemáticos no tenemos; es un gran honor, pero también si uno lo mira desde otro punto de vista, hay otras cosas detrás de eso; muchas cuestiones del sistema que con las que uno ideológicamente no concuerda, al menos creo que toda la gente que conozco no está de acuerdo con un montón de cosas”, reflexiona Amster y detalla: “En el caso de Perelman, parece que estaba enoj